تأثیر بزرگنمایی بر بهبودِ رؤیت هلال

چکیده:

در این نوشته قرار است با کمکِ روابطِ ریاضی به تأثیر بزرگنمایی بر بهبودِ رؤیت هلال پرداخته شود. پایه‌ی استدلال در این مقاله، تغییرِ روشناییِ هلال نسبت به زمینه‌ی آسمان با بزرگنمایی خواهد بود. بررسی ما نشان می‌دهد که تأثیر بزرگنمایی می‌تواند روشنایی هلال نسبت به زمینه را ۳ تا ۴ برابر افزایش دهد.

تعریف بزرگنمایی:

در ابتدا، لازم است تعریفِ بزرگنمایی را بدانیم. بزرگنمایی یعنی نسبتِ اندازه‌ی زاویه‌ای تصویر به اندازه‌ی زاویه‌ای جسم، [۱].

که δα اندازه‌ی زاویه‌ای جسم، M بزرگنمایی و δβ اندازه‌ی زاویه‌ای تصویر است.

تأثیر بزرگنمایی بر میدانِ دیدِ تلسکوپ:

زمانی که با تلسکوپ به فضایی در دوردست نگاه می‌کنیم، یک میدانِ دید دایره‌ای شکل را خواهیم دید. این ناحیه یک‌بعدی نیست بلکه دو بعد دارد، شکل ۱.

شکل ۱: میدانِ دیدِ دایره‌ای تلسکوپ با شعاعِ زاویه‌ای α و مساحتِ زاویه‌ای A

این منطقه دارای مساحتِ زاویه‌ای A است و برابر است با

بعد از عبورِ از تلسکوپ با توجه به اینکه α به اندازه ی M بزرگ می‌شود، مساحتِ زاویه‌ای جدید هم تغییر خواهد کرد، [۲].

تأثیر بزرگنمایی تلسکوپ بر مساحتِ زاویه‌ای هلال:

رابطه‌ی مشخصی برای محاسبه‌ی مساحت زاویه‌ای هلال وجود دارد. این رابطه به‌قرار زیر است.

که R شعاع زاویه‌ای ماه، W_۰ ضخامتِ هلال و ϕ زاویه‌ای تعریف‌شده از مرکز هلال به سمتِ نوکِ تیزِ کمانِ هلال است، شکل ۲.

شکل ۲: شماتیکی از هلالِ ماه و زوایای مرتبط با آن

فرمولِ محاسبه‌ی W_۰ هم چنین است، [۳ و ۴].

که e جدایی زاویه‌ای ماه و خورشید می‌باشد.

برای اعمالِ اثر بزرگنمایی بر زوایایِ موجود در معادله‌ی (۴) نیاز به توجه به یک نکته‌ی مضاعف هم است. شِفِر، ۱۹۹۱، بیان می‌کند که هلالِ ماه معمولاً در شرایطِ اولِ ماه ضخامتِ کمتری از توانِ تفکیکِ چشمِ راصد دارد. ازاین‌رو آنچه برای رصدگر قابل‌مشاهده است چنین خواهد بود، [۴].

که E توانِ تفکیکِ چشمِ انسان است و مقدارِ متوسط آن ۴۲ ثانیه‌ی قوسی است، [۴]. S هم دیسکِ دید نجومی می‌باشد که مقدارِ آن برای آسمانِ نزدیکِ افق در شرایطِ نرمال ۵ ثانیه قوسی برآورد شده است، [۵].

با توجه به معادله‏‌ی (۶) و اعمالِ اثرِ آن در شعاع R، مساحتِ زاویه‌ای ماه چنین خواهد شد.

متناظرِ با این موضوع، شِفِر تأثیر بزرگنمایی بر ضخامتِ هلال را هم چنین برآورد کرد، [۴].

با اعمالِ چنین برآوردی برای راستای R هم می‌توان مقدارِ مساحتِ زاویه‌ای هلال بعد از بزرگنمایی را حساب کرد.

تأثیر بزرگنمایی بر روشنایی:

در حالتِ کلی روشنایی چنین تعریف می‌شود، [۶].

که L_۰ ثابت تبدیلِ واحد، m قدرِ ظاهریِ منبع نور و A هم مساحتِ زاویه‌ای آن منبع است. با عبورِ منبع نور از تلسکوپ روشنایی چنین تغییر می‌کند.

درنتیجه، تغییرِ روشنایی به‌واسطه‌ی تلسکوپ چنین برآورد می‌شود.

این تغییر شامل دو بخش است یکی تغییر در قدر ظاهری، g، و دیگری تغییر در مساحتِ ظاهری، f. آنچه در این مطالعه موردتوجه قرار می‌گیرد، ضریب f یا همان اثرِ بزرگنمایی است.

محاسبه‌ی تأثیر بزرگنمایی بر روشنایی زمینه‌ی آسمان:

با توجه به معادلاتِ (۲ و ۳) خواهیم داشت.

محاسبه‌ی تأثیر بزرگنمایی بر روشنایی هلال:

با توجه به معادلاتِ (۷ و ۹) ضریب بهبود بزرگنمایی برای هلال چنین خواهد بود.

با توجه به اینکه E حدودِ ۴۲ ثانیه‌ی قوسی، S حدودِ ۵ ثانیه قوسی، ۲R حدود ۱۸۰۰ ثانیه قوسی و W_۰ هم حداکثر ۲-۳ درصد اندازه‌ی شعاع ماه است، می‌توان معادله‌ی (۱۴) را ساده کرد.

ضریب بهبودِ رؤیت هلال بر اثر بزرگنمایی:

با توجه به معادلاتِ (۱۳) و (۱۵) این ضریب بهبود چنین به دست می‌آید.

که این ضریب را می‌توان با کمکِ روشِ عددی برای هر موردِ مطالعاتی به دست آورد.

مورد مطالعاتی شماره‌ی ۱:

برای هلالِ شامگاهیِ رجب ۱۴۴۲، در زمانِ اولین رصد یعنی ۱۸:۱۳ دقیقه، جدایی زاویه‌ای هلال ۱۰ درجه و ۳۹ دقیقه قوسی و شعاع ماه ۱۵ دقیقه و ۲۳ ثانیه قوسی بود. با توجه به این اعداد، برای بزرگنمایی‌های ۱، ۲، ۵، ۱۰، ۲۰ و ۵۰ مقدارِ ضریب F_M-bg در جدول ۱ آورده شده است.

هلالِ رجب ۱۴۴۲، با چشمِ غیرمسلح دیده نشد. ضریب تأثیر محاسبه‌شده در اینجا نشان می‌دهد که با یک بزرگنمایی کم (حدود ۱۰ برابر) می‌توان ۴ برابر روشنایی نسبی هلال را بهبود بخشید.

شکل ۳: منحنی ضریب بهبود بزرگنمایی بر روشناییِ نسبی هلالِ شامگاهی رجب ۱۴۴۲، معادله (۱۶)

مورد مطالعاتی ۲:

هلالِ شامگاهیِ شعبان ۱۴۴۲، موقع رصد با چشمِ غیرمسلح، جدایی زاویه‌ای ۱۳ درجه و ۲۷ دقیقه و قطر ظاهری ۱۵ دقیقه‌ی قوسی داشت. برای این هلالِ ضریب تأثیر بزرگنمایی چنین محاسبه شد، جدول ۲.

مقایسه‌ی ضریب بهبود این هلال با هلالِ شامگاهی رجب ۱۴۴۲ نشان می‌دهد که برای هلالِ با ضخامتِ بیشتر، بزرگنمایی تأثیر کمتری نشان داده است. بااین‌حال همچنان بزرگنمایی می‌تواند بر رؤیت بهتر هلال مؤثر باشد.

شکل ۴: منحنی ضریب بهبود بزرگنمایی بر روشناییِ نسبی هلالِ شامگاهی شعبان ۱۴۴۲، معادله (۱۶)

نتیجه‌گیری:

وجودِ محدودیت در توان تفکیکِ چشم و محدودیت در دید نجومی می‌تواند باعث تأثیر بزرگنمایی بر روی روشناییِ نسبیِ هلال و زمینه‌ی آسمان شود. این موضوع به‌صورت نظری بررسی شد و برای هلال‌های شامگاهیِ رجب و شعبان ۱۴۴۲ پیاده‌سازی گردید. این نتیجه حاصل شد که ضریب تأثیر بین ۳-۴ است و برای هلالِ با ضخامتِ بیشتر کمتر مؤثر است.

مراجع

[۱] محمد رنجبران، ۱۴۰۰، توضیحی مختصر پیرامونِ بزرگنمایی، وب‌سایت انجمن اخترشناسی شیراز، فروردین‌ماه.

[۲] Schaefer, B. E. (1990). Telescopic limiting magnitudes. Publications of the Astronomical Society of the Pacific, 102(648), 212.

[۳] Hasanzadeh, A. (2012). Study of Danjon limit in moon crescent sighting. Astrophysics and Space Science, 339(2), 211-221.

[۴] Schaefer, B. E. (1991). Length of the lunar crescent. Quarterly Journal of the Royal Astronomical Society, 32, 265-277.

[۵] McNally, D. (1983). The length of the lunar crescent. Quarterly Journal of the Royal Astronomical Society, 24, 417.

[۶] https://en.wikipedia.org/wiki/Surface_brightness, accessed March 30, 2021.